As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Podemos usar as palavras quatorze ou catorze sempre que quisermos referir o numeral cardinal 14, equivalente a 1 dezena mais 4 unidades. As palavras quatorze e catorze são comumente usadas e socialmente aceites no português falado no Brasil.
Quatorze tem sua origem na palavra em latimquattuordecim, mantendo sua escrita com qu. Catorze também tem sua origem na palavra em latim quattuordecim, mas sofreu alteração de qu para c, ou seja, sofreu uma adequação ortográfica baseada na fonética da sílaba. Alguns falantes privilegiam o uso da palavra quatorze por ser a que mais se aproxima de seu étimo latino. Outros falantes optam pela utilização da palavra que sofreu evolução devido ao uso e às características do português.
Exemplos:
Quatorze casais participarão no encontro.
Catorze casais participarão no encontro.
Depois do número quatorze vem o número quinze.
Depois do número catorze vem o número quinze.
Existem, na língua portuguesa, palavras que apresentam mais do que uma grafia correta. A estas palavras chamamos formas gráficas variantes. Embora haja sempre uma forma preferida e mais utilizada pelos falantes, todas as formas são corretas.
Fique sabendo mais!
No português falado em Portugal a palavra quatorze está em desuso, sendo mais correto utilizar a palavra catorze.
Fonte: Redação.